已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(0,2),且抛物线上任意不同两点M(x1,y1),N(x2,y2)都满足...
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已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(0,2),且抛物线上任意不同两点M(x1,y1),N(x2,y2)都满足:当x1<x2<0时,(x1﹣x2)(y1﹣y2)>0;当0<x1<x2时,(x1﹣x2)(y1﹣y2)<0.以原点O为圆心,OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B,C,且B在C的左侧,△ABC有一个内角为60°.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若MN与直线y=﹣2x平行,且M,N位于直线BC的两侧,y1>y2,解决以下问题:
①求*:BC平分∠MBN;
②求△MBC外心的纵坐标的取值范围.
【回答】
解:(1)∵抛物线过点A(0,2),
∴c=2,
当x1<x2<0时,x1﹣x2<0,由(x1﹣x2)(y1﹣y2)>0,得到y1﹣y2<0,
∴当x<0时,y随x的增大而增大,
同理当x>0时,y随x的增大而减小,
∴抛物线的对称轴为y轴,且开口向下,即b=0,
∵以O为圆心,OA为半径的圆与抛物线交于另两点B,C,如图1所示,
∴△ABC为等腰三角形,
∵△ABC中有一个角为60°,
∴△ABC为等边三角形,且OC=OA=2,
设线段BC与y轴的交点为点D,则有BD=CD,且∠OBD=30°,
∴BD=OB•cos30°=,OD=OB•sin30°=1,
∵B在C的左侧,
∴B的坐标为(﹣,﹣1),
∵B点在抛物线上,且c=2,b=0,
∴3a+2=﹣1,
解得:a=﹣1,
则抛物线解析式为y=﹣x2+2;
(2)①由(1)知,点M(x1,﹣x12+2),N(x2,﹣x22+2),
∵MN与直线y=﹣2x平行,
∴设直线MN的解析式为y=﹣2x+m,则有﹣x12+2=﹣2x1+m,即m=﹣x12+2x1+2,
∴直线MN解析式为y=﹣2x﹣x12+2x1+2,
把y=﹣2x﹣x12+2x1+2代入y=﹣x2+2,解得:x=x1或x=2﹣x1,
∴x2=2﹣x1,即y2=﹣(2﹣x1)2+2=﹣x12+4x1﹣10,
作ME⊥BC,NF⊥BC,垂足为E,F,如图2所示,
∵M,N位于直线BC的两侧,且y1>y2,则y2<﹣1<y1≤2,且﹣<x1<x2,
∴ME=y1﹣(﹣1)=﹣x12+3,BE=x1﹣(﹣)=x1+,NF=﹣1﹣y2=x12﹣4x1+9,BF=x2﹣(﹣)=3﹣x1,
在Rt△BEM中,tan∠MBE===﹣x1,
在Rt△BFN中,tan∠NBF=====﹣x1,
∵tan∠MBE=tan∠NBF,
∴∠MBE=∠NBF,
则BC平分∠MBN;
②∵y轴为BC的垂直平分线,
∴设△MBC的外心为P(0,y0),则PB=PM,即PB2=PM2,
根据勾股定理得:3+(y0+1)2=x12+(y0﹣y1)2,
∵x12=2﹣y2,
∴y02+2y0+4=(2﹣y1)+(y0﹣y1)2,即y0=y1﹣1,
由①得:﹣1<y1≤2,
∴﹣<y0≤0,
则△MBC的外心的纵坐标的取值范围是﹣<y0≤0.
知识点:各地中考
题型:解答题
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