如图，抛物线y=-x2+bx+c过点A（3，2），且与直线y=-x+交于B、C两点，点B的坐标为（4，m）．（...

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如图，抛物线y=-x2+bx+c过点A（3，2），且与直线y=-x+交于B、C两点，点B的坐标为（4，m）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值；（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使∠AQM=45°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【回答】

解：（1）将点B的坐标为（4，m）代入y=-x+， m=-4+=-， ∴B的坐标为（4，-），将A（3，2），B（4，-）代入y=-x2+bx+c，解得b=1，c=， ∴抛物线的解析式y=；（2）设D（m，），则E（m，-m+）， DE=（）-（-m+）==-（m-2）2+2， ∴当m=2时，DE有最大值为2，此时D（2，），作点A关于对称轴的对称点A'，连接A'D，与对称轴交于点P． PD+PA=PD+PA'=A'D，此时PD+PA最小， ∵A（3，2）， ∴A'（-1，2）， A'D==，即PD+PA的最小值为；（3）作AH⊥y轴于点H，连接AM、AQ、MQ、HA、HQ， ∵抛物线的解析式y=， ∴M（1，4）， ∵A（3，2）， ∴AH=MH=2，H（1，2） ∵∠AQM=45°， ∠AHM=90°， ∴∠AQM=∠AHM，可知△AQM外接圆的圆心为H， ∴QH=HA=HM=2 设Q（0，t），则=2， t=2+或2- ∴符合题意的点Q的坐标：Q1（0，2-）、Q2（0，2）．【解析】

（1）将点B的坐标为（4，m）代入y=-x+，m=-4+=-，B的坐标为（4，-），将A（3，2），B（4，-）代入y=-x2+bx+c，解得b=1，c=，因此抛物线的解析式y=；（2）设D（m，），则E（m，-m+），DE=（）-（-m+）==-（m-2）2+2，当m=2时，DE有最大值为2，此时D（2，），作点A关于对称轴的对称点A'，连接A'D，与对称轴交于点P．PD+PA=PD+PA'=A'D，此时PD+PA最小；（3）作AH⊥y轴于点H，连接AM、AQ、MQ、HA、HQ，由M（1，4），A（3，2），可得AH=MH=2，H（1，2）因为∠AQM=45°，∠AHM=90°，所以∠AQM=∠AHM，可知△AQM外接圆的圆心为H，于是QH=HA=HM=2设Q（0，t），则=2，t=2+或2-，求得符合题意的点Q的坐标：Q1（0，2-）、Q2（0，2）．本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的图象的*质与一次函数的*质以及圆周角定理是解题的关键．