已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的...

问题详情：

已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．

（1）抛物线的解析式为　   　，抛物线的顶点坐标为　   　；

（2）如图1，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标；

（3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标；

（4）如图3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【回答】

【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），

即：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3…①，

顶点坐标为（﹣1，4）；

（2）∵OB＝OC，

∴∠CBO＝45°，

∵S△CPD：S△BPD＝1：2，

∴BD＝BC＝×＝2，

yD＝BDsin∠CBO＝2，

则点D（﹣1，2）；

（3）如图2，设直线PE交x轴于点H，

∵∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，

∴∠OHE＝45°，

∴OH＝OE＝1，

则直线HE的表达式为：y＝﹣x﹣1…②，

联立①②并解得：x＝（舍去正值），

故点P（，）；

（4）不存在，理由：

连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H，

直线BC的表达式为：y＝x+3，

设点P（x，﹣x2﹣2x+3），点H（x，x+3），

则S四边形BOCP＝S△OBC+S△PBC＝×3×3+（﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3）×3＝8，

整理得：3x2+9x+7＝0，

解得：△＜0，故方程无解，

则不存在满足条件的点P．

知识点：各地中考

题型：综合题