如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A(0,3)、B(1,0),其对称轴为直线l:x=2,过点A...
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如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A(0,3)、B(1,0),其对称轴为直线l:x=2,过点A作AC∥x轴交抛物线于点C,∠AOB的平分线交线段AC于点E,点P是抛物线上的一个动点,设其横坐标为m.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上,连结PE、PO,当m为何值时,四边形AOPE面积最大,并求出其最大值;
(3)如图②,F是抛物线的对称轴l上的一点,在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
解:(1)如图1,设抛物线与x轴的另一个交点为D,
由对称*得:D(3,0),
设抛物线的解析式为:y=a(x﹣1)(x﹣3),
把A(0,3)代入得:3=3a,
a=1,
∴抛物线的解析式;y=x2﹣4x+3;
(2)如图2,设P(m,m2﹣4m+3),
∵OE平分∠AOB,∠AOB=90°,
∴∠AOE=45°,
∴△AOE是等腰直角三角形,
∴AE=OA=3,
∴E(3,3),
易得OE的解析式为:y=x,
过P作PG∥y轴,交OE于点G,
∴G(m,m),
∴PG=m﹣(m2﹣4m+3)=﹣m2+5m﹣3,
∴S四边形AOPE=S△AOE+S△POE,
=×3×3+PG•AE,
=+×3×(﹣m2+5m﹣3),
=﹣+,
=﹣(m﹣)2+,
∵﹣<0,
∴当m=时,S有最大值是;
(3)如图3,过P作MN⊥y轴,交y轴于M,交l于N,
∵△OPF是等腰直角三角形,且OP=PF,
易得△OMP≌△PNF,
∴OM=PN,
∵P(m,m2﹣4m+3),
则﹣m2+4m﹣3=2﹣m,
解得:m=或,
∴P的坐标为(,)或(,);
如图4,过P作MN⊥x轴于N,过F作FM⊥MN于M,
同理得△ONP≌△PMF,
∴PN=FM,
则﹣m2+4m﹣3=m﹣2,
解得:x=或;
P的坐标为(,)或(,);
综上所述,点P的坐标是:(,)或(,)或(,)或(,).
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:综合题
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