如图，抛物线y＝ax2＋bx过A(4，0)，B(1，3)两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH...

问题详情：

如图，抛物线y＝ax2＋bx过A(4，0)，B(1，3)两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H.

(1)求抛物线的表达式，并求出△ABC的面积；

(2)点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；

(3)若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．

【回答】

解：(1)把点A(4，0)，B(1，3)代入y＝ax2＋bx，得，解得；∴该抛物线的表达式为y＝－x2＋4x；∴对称轴为x＝2，∴点C的坐标为(3，3)，又∵点B的坐标为(1，3)，∴BC＝2，∴S△ABC＝×2×3＝3；(2)如图①，过P点作PD⊥BH交BH于点D，设点P(m，－m2＋4m)，根据题意，得BH＝AH＝3，HD＝m2－4m，PD＝m－1，∴S△ABP＝S△ABH＋S四边形HAPD－S△BPD，即6＝×3×3＋(3＋m－1)(m2－4m)－(m－1)(3＋m2－4m)，∴3m2－15m＝0，m1＝0(舍去)，m2＝5，∴点P坐标为(5，－5)；

(3)以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：①以点M为直角顶点且M在x轴上方时，如图②，CM＝MN，∠CMN＝90°，

则△CBM≌△MHN，∴BC＝MH＝2，BM＝HN＝3－2＝1，∴M(1，2)，N(2，0)，由勾股定理得：MC＝＝，∴S△CMN＝××＝；②以点M为直角顶点且M在x轴下方时，如图③，作辅助线，构建如图③的两直角三角形：Rt△NEM和Rt△MDC，得Rt△NEM≌Rt△MDC，∴EM＝CD＝5，MD＝ME＝2，由勾股定理得：CM＝＝，∴S△CMN＝××＝；③以点N为直角顶点且N在y轴左侧时，如图④，CN＝MN，∠MNC＝90°，作辅助线，同理得：CN＝＝，∴S△CMN＝××＝17；④以点N为直角顶点且N在y轴右侧时，作辅助线，如图⑤，同理得：CN＝＝＝，此时点N与点A重合，∴S△CMN＝××＝5；⑤以C为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形；综上所述：△CMN的面积为：或或17或5