（2019·海南中考模拟）如图，对称轴为直线x＝1的抛物线经过A（﹣1，0）、C（0，3）两点，与x轴的另一个...

问题详情：

（2019·海南中考模拟）如图，对称轴为直线x＝1的抛物线经过A（﹣1，0）、C（0，3）两点，与x轴的另一个交点为B，点D在y轴上，且OB＝3OD

（1）求该抛物线的表达式；

（2）设该抛物线上的一个动点P的横坐标为t

①当0＜t＜3时，求四边形CDBP的面积S与t的函数关系式，并求出S的最大值；

②点Q在直线BC上，若以CD为边，点C、D、Q、P为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P的坐标．

【回答】

（1）y＝﹣x2+2x+3（2）①t＝时，S的最大值为②P（1，4）或（2，3）或（，）或（，）

【解析】

 (1)∵抛物线的对称轴为x＝1，A(﹣1，0)，

∴B(3，0)．

∴设所求抛物线的表达式为 y＝a(x+1)(x﹣3)，

把点C(0，3)代入，得3＝a(0+1)(0﹣3)，

解得a＝﹣1，

∴所求抛物线的表达式为y＝﹣(x+1)(x﹣3)，即y＝﹣x2+2x+3；

(2)①连结BC．

∵B(3，0)，C(0，3)，

∴直线BC的表达式为y＝﹣x+3，

∵OB＝3OD，OB＝OC＝3，

∴OD＝1，CD＝2，

过点P作PE∥y轴，交BC于点E(如图1)．

设P(t，﹣t2+2t+3)，则E(t，﹣t+3)．

∴PE＝﹣t2+2t+3﹣(﹣t+3)＝﹣t2+3t．

S四边形CDBP＝S△BCD+S△BPC＝CD•OB+PE•OB，

即S＝×2×3+(﹣t2+3t)×3＝﹣(t﹣)2+，

∵a＝﹣＜0，且0＜t＜3，

∴当t＝时，S的最大值为；

②以CD为边，点C、D、Q、P为顶点的四边形是平行四边形，

则PQ∥CD，且PQ＝CD＝2．

∵点P在抛物线上，点Q在直线BC上，

∴点P(t，﹣t2+2t+3)，点Q(t，﹣t+3)．

分两种情况讨论：

(Ⅰ) 如图2，当点P在点Q上方时，

∴(﹣t2+2t+3)﹣(﹣t+3)＝2．即t2﹣3t+2＝0．解得 t1＝1，t2＝2．

∴P1(1，4)，P2(2，3)，

(Ⅱ) 如图3，当点P在点Q下方时，

∴(﹣t+3)﹣(﹣t2+2t+3)＝2．即t2﹣3t﹣2＝0．

解得 t3＝，t4＝，

∴P3(，)，P4(，)，

综上所述，所有符合条件的点P的坐标分别为：P(1，4)或(2，3)或(，)或(，)．

【点睛】

本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：综合题