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(2019·湖南中考模拟)如图,顶点坐标为(2,﹣1)的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴交于点C(0,3),与x轴交于A、B两点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)设抛物线的对称轴与直线BC交于点D,连接AC、AD,求△ACD的面积;
(3)点E为直线BC上一动点,过点E作y轴的平行线EF,与抛物线交于点F.问是否存在点E,使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似?若存在,求点E的坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
(1)y==x2-4x+3;
(2)AS△ACD=2;
(3)①∠DFE=90°时,E1(2+,1-); E2(2-,1+);②∠EDF=90°时,E3(1,2)、E4(4,-1).
【解析】
解:(1)依题意,设抛物线的解析式为 y=a(x-2)2-1,代入C(O,3)后,得: a(0-2)2-1=3,a=1 ∴抛物线的解析式:y=(x-2)2-1=x2-4x+3. (2)由(1)知,A(1,0)、B(3,0); 设直线BC的解析式为:y=kx+3,代入点B的坐标后,得: 3k+3=0,k=-1 ∴直线BC:y=-x+3; 由(1)知:抛物线的对称轴:x=2,则 D(2,1); ∴AD==,AC==,CD==2, 即:AC2=AD2+CD2,△ACD是直角三角形,且AD⊥CD; ∴S△ACD=AD•CD=××2=2. (3)由题意知:EF∥y轴,则∠FED=∠OCB,若△OCB与△FED相似,则有: ①∠DFE=90°,即 DF∥x轴; 将点D纵坐标代入抛物线的解析式中,得: x2-4x+3=1,解得 x=2±; 当x=2+时,y=-x+3=1-; 当x=2-时,y=-x+3=1+; ∴E1(2+,1-)、E2(2-,1+). ②∠EDF=90°; 易知,直线AD:y=x-1,联立抛物线的解析式有: x2-4x+3=x-1, x2-5x+4=0, 解得 x1=1、x2=4; 当x=1时,y=-x+3=2; 当x=4时,y=-x+3=-1; ∴E3(1,2)、E4(4,-1); 综上,存在符合条件的点E,且坐标为:(2+,1-)、(2-,1+)、(1,2)或(4,-1). “点睛”此题主要考查了函数解析式的确定、图形面积的解法以及相似三角形的判定和*质等知识;需要注意的是,已知两个三角形相似时,若对应边不相同,那么得到的结果就不一定相同,所以一定要进行分类讨论.
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:解答题
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