二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图,图象过点(﹣1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:①4...
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二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图,图象过点(﹣1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:
①4a+b=0;②9a+c>3b;③8a+7b+2c>0;④当x>﹣1时,y的值随x值的增大而增大.
其中正确的结论有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【回答】
B【考点】二次函数图象与系数的关系.
【分析】根据抛物线的对称轴为直线x=﹣=2,则有4a+b=0;观察函数图象得到当x=﹣3时,函数值小于0,则9a﹣3b+c<0,即9a+c<3b;由于x=﹣1时,y=0,则a﹣b+c=0,易得c=﹣5a,所以8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a,再根据抛物线开口向下得a<0,于是有8a+7b+2c>0;由于对称轴为直线x=2,根据二次函数的*质得到当x>2时,y随x的增大而减小.
【解答】解:∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=2,
∴b=﹣4a,即4a+b=0,(故①正确);
∵当x=﹣3时,y<0,
∴9a﹣3b+c<0,
即9a+c<3b,(故②错误);
∵抛物线与x轴的一个交点为(﹣1,0),
∴a﹣b+c=0,
而b=﹣4a,
∴a+4a+c=0,即c=﹣5a,
∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a,
∵抛物线开口向下,
∴a<0,
∴8a+7b+2c>0,(故③正确);
∵对称轴为直线x=2,
∴当﹣1<x<2时,y的值随x值的增大而增大,
当x>2时,y随x的增大而减小,(故④错误).
故选:B.
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小,当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置,当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右;常数项c决定抛物线与y轴交点. 抛物线与y轴交于(0,c);抛物线与x轴交点个数由△决定,△=b2﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:选择题
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