如图,已知点A(﹣1,0),B(3,0),C(0,1)在抛物线y=ax2+bx+c上.(1)求抛物线解析式;(...
问题详情:
如图,已知点A(﹣1,0),B(3,0),C(0,1)在抛物线y=ax2+bx+c上.
(1)求抛物线解析式;
(2)在直线BC上方的抛物线上求一点P,使△PBC面积为1;
(3)在x轴下方且在抛物线对称轴上,是否存在一点Q,使∠BQC=∠BAC?若存在,求出Q点坐标;若不存在,说明理由.
【回答】
(1)抛物线的解析式为y=﹣x2+x+1;(2)点P的坐标为(1,)或(2,1);(3)存在,理由见解析.
【解析】
【分析】
(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x﹣3),将C(0,1)代入求得a的值即可;
(2)过点P作PD⊥x,交BC与点D,先求得直线BC的解析式为y=﹣x+1,设点P(x,﹣x2+x+1),则D(x,﹣ x+1),然后可得到PD与x之间的关系式,接下来,依据△PBC的面积为1列方程求解即可;
(3)首先依据点A和点C的坐标可得到∠BQC=∠BAC=45°,设△ABC外接圆圆心为M,则∠CMB=90°,设⊙M的半径为x,则Rt△CMB中,依据勾股定理可求得⊙M的半径,然后依据外心的*质可得到点M为直线y=﹣x与x=1的交点,从而可求得点M的坐标,然后由点M的坐标以及⊙M的半径可得到点Q的坐标.
【详解】
(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x﹣3),将C(0,1)代入得﹣3a=1,解得:a=﹣,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+1;
(2)过点P作PD⊥x,交BC与点D,
设直线BC的解析式为y=kx+b,则,解得:k=﹣,
∴直线BC的解析式为y=﹣x+1,
设点P(x,﹣ x2+x+1),则D(x,﹣ x+1),
∴PD=(﹣x2+x+1)﹣(﹣x+1)=﹣x2+x,
∴S△PBC=OB•DP=×3×(﹣x2+x)=﹣x2+x,
又∵S△PBC=1,
∴﹣x2+x=1,整理得:x2﹣3x+2=0,解得:x=1或x=2,
∴点P的坐标为(1,)或(2,1);
(3)存在.
∵A(﹣1,0),C(0,1),
∴OC=OA=1,
∴∠BAC=45°,
∵∠BQC=∠BAC=45°,
∴点Q为△ABC外接圆与抛物线对称轴在x轴下方的交点,
设△ABC外接圆圆心为M,则∠CMB=90°,
设⊙M的半径为x,则Rt△CMB中,由勾股定理可知CM2+BM2=BC2,即2x2=10,
解得:x=(负值已舍去),
∵AC的垂直平分线的为直线y=﹣x,AB的垂直平分线为直线x=1,
∴点M为直线y=﹣x与x=1的交点,即M(1,﹣1),
∴Q的坐标为(1,﹣1﹣).
【点睛】
本题考查的是二次函数的综合应用,涉及了待定系数法求二次函数的解析式、三角形的外心的*质,求得点M的坐标以及⊙M的半径的长度是解题的关键.
知识点:二次函数单元测试
题型:解答题
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