如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；...

问题详情：

如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△PAC的周长；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得S△PAM＝S△PAC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【回答】

【分析】（1）由于条件给出抛物线与x轴的交点A（﹣1，0）、B（3，0），故可设交点式y＝a（x+1）（x﹣3），把点C代入即求得a的值，减小计算量．

（2）由于点A、B关于对称轴：直线x＝1对称，故有PA＝PB，则C△PAC＝AC+PC+PA＝AC+PC+PB，所以当C、P、B在同一直线上时，C△PAC＝AC+CB最小．利用点A、B、C的坐标求AC、CB的长，求直线BC解析式，把x＝1代入即求得点P纵坐标．

（3）由S△PAM＝S△PAC可得，当两三角形以PA为底时，高相等，即点C和点M到直线PA距离相等．又因为M在x轴上方，故有CM∥PA．由点A、P坐标求直线AP解析式，即得到直线CM解析式．把直线CM解析式与抛物线解析式联立方程组即求得点M坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）

∴可设交点式y＝a（x+1）（x﹣3）

把点C（0，3）代入得：﹣3a＝3

∴a＝﹣1

∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3

∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3

（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使得△PAC的周长最小．

如图1，连接PB、BC

∵点P在抛物线对称轴直线x＝1上，点A、B关于对称轴对称

∴PA＝PB

∴C△PAC＝AC+PC+PA＝AC+PC+PB

∵当C、P、B在同一直线上时，PC+PB＝CB最小

∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）

∴AC＝，BC＝

∴C△PAC＝AC+CB＝最小

设直线BC解析式为y＝kx+3

把点B代入得：3k+3＝0，解得：k＝﹣1

∴直线BC：y＝﹣x+3

∴yP＝﹣1+3＝2

∴点P（1，2）使△PAC的周长最小，最小值为．

（3）存在满足条件的点M，使得S△PAM＝S△PAC．

∵S△PAM＝S△PAC

∴当以PA为底时，两三角形等高

∴点C和点M到直线PA距离相等

∵M在x轴上方

∴CM∥PA

∵A（﹣1，0），P（1，2），设直线AP解析式为y＝px+d

∴   解得：

∴直线AP：y＝x+1

∴直线CM解析式为：y＝x+3

∵   解得：（即点C），

∴点M坐标为（1，4）

知识点：各地中考

题型：综合题