如图，抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣，0），C（0，2）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线AC下方的...

问题详情：

如图，抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣，0），C（0，2）三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在直线AC下方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求点D的坐标；

（3）设点M是抛物线的顶点，试判断抛物线上是否存在点H满足∠AMH=90°？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．

【回答】

解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，将A（﹣2，0），B（﹣，0），C（0，2）代入解析式，得

，

解得．

∴抛物线的解析式是y=2x2+5x+2；

（2）由题意可求得AC的解析式为y=x+2，

如图1，

设D点的坐标为（t，2t2+5t+2），过D作DE⊥x轴交AC于E点，

∴E点的坐标为（t，t+2），

DE=t+2﹣（2t2+5t+2）=﹣2t2﹣4t，用h表示点C到线段DE所在直线的距离，

S△DAC=S△CDE+S△ADE=DE•h+DE（2﹣h）=DE•2=DE=﹣2t2﹣4t=﹣2（t+1）2+2

∵﹣2＜t＜0，

∴当t=﹣1时，△DCA的面积最大，此时D点的坐标为（﹣1，﹣1）；

（3）存在点H满足∠AMH=90°，

由（1）知M点的坐标为（﹣，﹣）

如图2：作MH⊥AM交x轴于点K（x，0），作MN⊥x轴于点N，

∵∠AMN+∠KMN=90°，∠NKM+∠KMN=90°，

∴∠AMN=∠NKM．

∵∠ANM=∠MNK，

∴△AMN∽△MKN，

∴=，

∴MN2=AN•NK，

∴（）2=（2﹣）（x+），

解得x=

∴K点坐标为（，0）

直线MK的解析式为y=x﹣，

∴，

把①代入②，化简得48x2+104x+55=0．

△=1042﹣4×48×55=64×4=256＞0，

∴x1=﹣，x2=﹣，将x2=﹣代入y=x﹣，

解得y=﹣

∴直线MN与抛物线有两个交点M、H，

∴抛物线上存在点H，满足∠AMH=90°，

此时点H的坐标为（﹣，﹣）．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：综合题