如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．点M是线段BC上...

问题详情：

如图，已知抛物线经过点 A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．

（1）求抛物线的解析式．

点 M 是线段 BC 上的点（不与 B，C 重合），过 M 作 MN∥y 轴交抛物线于 N，若点 M 的横坐标为

m，请用 m 的代数式表示 MN 的长．

（3）在的条件下，连接 NB、NC，是否存在 m，使△BNC 的面积最大？若存在，求 m 的值；若不 存在，说明理由．

【回答】

【考点】二次函数综合题．

【专题】压轴题；数形结合．

【分析】（1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式． 先利用待定系数法求出直线 BC 的解析式，已知点 M 的横坐标，代入直线 BC、抛物线的解析式中， 可得到 M、N 点的坐标，N、M 纵坐标的差的绝对值即为 MN 的长．

（3）设 MN 交 x 轴于 D，那么△BNC 的面积可表示为：S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）

= MN•OB，MN 的表达式在中已求得，OB 的长易知，由此列出关于 S△BNC、m 的函数关系式， 根据函数的*质即可判断出△BNC 是否具有最大值．

【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则：

a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；

∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3． 设直线 BC 的解析式为：y=kx+b，则有：

；

故直线 BC 的解析式：y=﹣x+3．

已知点 M 的横坐标为 m，MN∥y，则 M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）；

∴故 MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．

（3）如图；

∵S△BNC=S△MNC+S△MNB= MN（OD+DB）= MN•OB，

∴S△BNC=（﹣m2+3m）•3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）；

∴当 m=时，△BNC 的面积最大，最大值为．

【点评】该二次函数题较为简单，考查的知识点有：函数解析式的确定、函数图象交点坐标的求法、 二次函数*质的应用以及图形面积的解法．（3）的解法较多，也可通过图形的面积差等方法来列函 数关系式，可根据自己的习惯来选择熟练的解法．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：解答题