已知抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+b（a≠0，b＞0）的顶点为M，经过原点O且与x轴另一交点为A．（1...

问题详情：

已知抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+b（a≠0，b＞0）的顶点为M，经过原点O且与x轴另一交点为A．

（1）求点A的坐标；

（2）若△AMO为等腰直角三角形，求抛物线C1的解析式；

（3）现将抛物线C1绕着点P（m，0）旋转180°后得到抛物线C2，若抛物线C2的顶点为N，当b=1，且顶点N在抛物线C1上时，求m的值．

【回答】

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）由抛物线经过原点可知当x=0时，y=0，由此可得关于x的一元二次方程，解方程即可求出抛物线x轴另一交点坐标；

（2）由△AMO为等腰直角三角形，抛物线的顶点为M，可求出b的值，再把原点坐标（0，0）代入求出a的值，即可求出抛物线C1的解析式；

（3）由b=1，易求线抛物线C1的解析式，设N（n，﹣1），再由点P（m，0）可求出n和m的关系，当顶点N在抛物线C1上可把N的坐标代入抛物线即可求出m的值．

【解答】解：（1）∵抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+b（a≠0，b＞0）经过原点O，

∴0=4a+b，

∴当ax2+4ax+4a+b=0时，则ax2+4ax=0，

解得：x=0或﹣4，

∴抛物线与x轴另一交点A坐标是（﹣4，0）；

（2）∵抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+b=a（x+2）2+b（a≠0，b＞0），（如图1）

∴顶点M坐标为（﹣2，b），

∵△AMO为等腰直角三角形，

∴b=2，

∵抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+b=a（x+2）2+b过原点，

∴a（0+2）2+2=0，

解得：a=﹣，

∴抛物线C1：y=﹣x2﹣2x；

（3）∵b=1，抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+b=a（x+2）2+b过原点，（如图2）

∴a=﹣，

∴y=﹣（x+2）2+1=﹣x2﹣x，

设N（n，﹣1），又因为点P（m，0），

∴n﹣m=m+2，

∴n=2m+2

即点N的坐标是（2m+2，﹣1），

∵顶点N在抛物线C1上，

∴﹣1=﹣（2m+2+2）2+1，

解得：m=﹣2+或﹣2﹣．

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换．由于抛物线旋转后的形状不变，故|a|不变，所以求旋转移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点旋转移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑旋转后的顶点坐标，即可求出解析式．

知识点：解一元二次方程

题型：综合题