已知抛物线y=ax2＋bx＋c与直线y=mx＋n相交于两点,这两点的坐标分别是(0,－)和(m－b,m2－mb...

问题详情：

已知抛物线y=ax2＋bx＋c与直线y=mx＋n相交于两点,这两点的坐标分别是(0,－)和(m－b, m2－mb＋n),其中 a,b,c,m,n为实数,且a,m不为0. (Ⅰ)求c的值; (Ⅱ)求*:抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴有两个交点; (Ⅲ)当－1≤x≤1时,设抛物线y=ax2＋bx＋c上与x轴距离最大的点为P(x0,y0),求这时|y0|的最小值.

【回答】

解:(Ⅰ)把点(0,－)代入抛物线,得:c=－; (Ⅱ)把点(0,－)代入直线得:n=－. 把点(m－b,m2－mb＋n)代入抛物线,得: a(m－b)2＋b(m－b)＋c=m2－mb＋n ∵c=n=－, ∴a(m－b)2＋b(m－b)=m2－mb, am2－2abm＋ab2＋bm－b2－m2＋mb=0, (a－1)m2－(a－1)•2bm＋(a－1)b2=0, (a－1)(m2－2bm＋b2)=0, (a－1)(m－b)2=0, 若m－b=0,则(m－b,m2－mb＋n)与(0,－)重合,与题意不合,

∴a=1, ∵抛物线y=ax2＋bx＋c=x2＋bx－,b2－4ac=b2－4×

(－)=b2＋2＞0,

∴抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴有两个交点; (Ⅲ)y=x2＋bx－,顶点(－,－－),

设抛物线y=x2＋bx－在x轴上方与x轴距离最大的点的纵坐标为H,在x轴下方与x轴距离最大的点的纵坐标为h, ①当－＜－1时,即b＞2时,在x轴上方与x轴距离最大的点是(1,y0),

∴|H|=y0=＋b＞, 在x轴下方与x轴距离最大的点是(－1,y0), ∴|h|=|y0|=|－b|=b－＞, ∴|H|＞|h|, ∴这时|y0|的最小值大于, ②当－1≤－≤0时,即0≤b≤2时,在x轴上方与x轴距离最大的点是(1,y0), ∴|H|=y0=＋b≥,当b=0时等号成立, 在x轴下方与x轴距离最大的点是(－,－－), ∴|h|=|－－|=≥, 当b=0时等号成立, ∴这时|y0|的最小值等于, ③当0＜－≤1,即－2≤b＜0时, 在x轴上方与x轴距离最大的点是(－1,y0), ∴|H|=y0=|1＋(－1)b－|=|－b|=－b＞, 在x轴下方与x轴距离最大的点是(－,－－), ∴|h|=|y0|=|－－|=＞, ∴这时|y0|的最小值大于; ④当1＜－时,即b＜－2时,在x轴上方与x轴距离最大的点是(－1,y0), ∴|H|=－b＞, 在x轴下方与x轴距离最大的点是(1,y0), ∴|h|=|＋b|=－(b＋)＞, ∴|H|＞|h|, ∴这时|y0|的最小值大于, 综上所述:当b=0,x0=0时,这时|y0|取最小值为.