已知，抛物线y=ax2+ax+b（a≠0）与直线y=2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．（1）求b与a...

问题详情：

已知，抛物线y=ax2+ax+b（a≠0）与直线y=2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．

（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；

（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；

（3）a=﹣1时，直线y=﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．

【回答】

【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），

∴a+a+b=0，即b=﹣2a，

∴y=ax2+ax+b=ax2+ax﹣2a=a（x+）2﹣，

∴抛物线顶点D的坐标为（﹣，﹣）；

（2）∵直线y=2x+m经过点M（1，0），

∴0=2×1+m，解得m=﹣2，

∴y=2x﹣2，

则，

得ax2+（a﹣2）x﹣2a+2=0，

∴（x﹣1）（ax+2a﹣2）=0，

解得x=1或x=﹣2，

∴N点坐标为（﹣2，﹣6），

∵a＜b，即a＜﹣2a，

∴a＜0，

如图1，设抛物线对称轴交直线于点E，

∵抛物线对称轴为x=﹣=﹣，

∴E（﹣，﹣3），

∵M（1，0），N（﹣2，﹣6），

设△DMN的面积为S，

∴S=S△DEN+S△DEM=|（﹣2）﹣1|•|﹣﹣（﹣3）|=，

（3）当a=﹣1时，

抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣x+2=﹣（x﹣）2+，

有，

﹣x2﹣x+2=﹣2x，

解得：x1=2，x2=﹣1，

∴G（﹣1，2），

∵点G、H关于原点对称，

∴H（1，﹣2），

设直线GH平移后的解析式为：y=﹣2x+t，

﹣x2﹣x+2=﹣2x+t，

x2﹣x﹣2+t=0，

△=1﹣4（t﹣2）=0，

t=，

当点H平移后落在抛物线上时，坐标为（1，0），

把（1，0）代入y=﹣2x+t，

t=2，

∴当线段GH与抛物线有两个不同的公共点，t的取值范围是2≤t＜．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：综合题