已知a<0,曲线f(x)=2ax2+bx+c与曲线g(x)=x2+alnx在公共点(1,f(1))处的切线相同...
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已知a<0,曲线f(x)=2ax2+bx+c与曲线g(x)=x2+alnx在公共点(1,f(1))处的切线相同. (Ⅰ)试求c-a的值; (Ⅱ)若f(x)≤g(x)+a+1恒成立,求实数a的取值范围.
【回答】
解:(Ⅰ)∵f(x)=2ax2+bx+c,f(1)=2a+b+c, ∴f′(x)=4ax+b,f′(1)=4a+b, 又g(x)=x2+alnx,g(1)=1, ∴g′(x)=2x+,g′(1)=2+a, ∴,得, 故c-a=-1; (Ⅱ)∵f(x)≤g(x)+a+1恒成立, ∴(2a-1)x2+(2-3a)x-alnx-2≤0对x∈(0,+∞)恒成立, 令h(x)=(2a-1)x2+(2-3a)x-alnx-2,(a<0), 则h′(x)=, 令h′(x)=0,解得:x=1或x=-<0,(舍), 故h(x)在(0,1)递增,在(1,+∞)递减, 则h(x)max=h(1)=-a-1≤0,解得:a≥-1, 故a∈[-1,0).
知识点:导数及其应用
题型:解答题
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