已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx（a＜0）．（1）讨论f（x）的单调*；（2）若对任意x1，x2∈（0，1]...

问题详情：

已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx（a＜0）．

（1）讨论f（x）的单调*；

（2）若对任意x1，x2∈（0，1]，且x1≠x2，都有，求实数a的取值范围．

【回答】

【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调*．

【分析】（1）求出函数的导数，根据a的范围，求出导函数的符号，从而求出函数的单调区间，

（2）将问题转化为x2﹣ax﹣4≤0在x∈（0，1]时恒成立，而函数y=x﹣在区间（0，1]上是增函数，所以y=x﹣的最大值为﹣3，从而求出a的范围．

【解答】解：（1）函数f（x）的定义域（0，+∞），f′（x）=1﹣=，

当a＜0时，f'（x）＞0恒成立，此时，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数；

（2）当a＜0时，函数f（x）在（0，1]上是增函数，

又函数y=在（0，1]上是减函数，不妨设0＜x1＜x2≤1，

则|f（x1）﹣f（x2）|=f（x2）﹣f（x1），|﹣|=﹣，

所以|f（x1）﹣f（x2）|＜4|﹣|等价于f（x2）﹣f（x1）＜﹣，

即f（x2）+＜f（x1）+，

设h（x）=f（x）+=x﹣1﹣alnx+，

则|f（x1）﹣f（x2）|＜4|﹣|等价于函数h（x）在区间（0，1]上是减函数．

于是h′（x）=1﹣﹣=≤0即x2﹣ax﹣4≤0在x∈（0，1]时恒成立，

从而a≥x﹣在x∈（0，1]上恒成立，

而函数y=x﹣在区间（0，1]上是增函数，

所以y=x﹣的最大值为﹣3．

于是a≥﹣3，又a＜0，所以a∈[﹣3，0）．

知识点：导数及其应用

题型：解答题