已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=xe1﹣x（a∈R，e为自然对数的底数），若对任意...

问题详情：

已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=xe1﹣x（a∈R，e为自然对数的底数），若对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，则a的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，]   B．（﹣∞，]

C．（，2）       D．[，）

【回答】

A【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调*．

【分析】根据若对任意给定的x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，得到函数f（x）在区间（0，e]上不单调，从而求得a的取值范围．

【解答】解：∵g'（x）=（1﹣x）e1﹣x，

∴g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e]上单调递减，

又因为g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e2﹣e＞0，

∴g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]．

，

当时，f′（x）=0，f（x）在处取得最小值，

由题意知，f（x）在（0，e]上不单调，所以，解得，

所以对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，

当且仅当a满足条件且f（e）≥1

因为f（1）=0，所以恒成立，由f（e）≥1解得

综上所述，a的取值范围是．

故选：A．

知识点：导数及其应用

题型：选择题