已知函数f(x)=(x+a)ln(x+a),g(x)=﹣+ax.(1)函数h(x)=f(ex﹣a)+g'(ex...
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已知函数f(x)=(x+a)ln(x+a),g(x)=﹣+ax.
(1)函数h(x)=f(ex﹣a)+g'(ex),x∈,求函数h(x)的最小值;
(2)对任意x∈上h'(x)≥0,h(x)递增,h(x)的最小值为.
【回答】
②当﹣1<a﹣1<1即0<a<2时,在x∈上h'(x)≤0,h(x)为减函数,在在x∈上h'(x)≥0,h(x)为增函数.
∴h(x)的最小值为h(a﹣1)=﹣ea﹣1+a.
③当a﹣1≥1即a≥2时,在上h'(x)≤0,h(x)递减,h(x)的最小值为h(1)=(1﹣a)e+a.
综上所述,当a≤0时h(x)的最小值为,当0<a<2时h(x)的最小值为﹣ea﹣1+a,当a≥2时,h(x)最小值为(1﹣a)e+a.
(II)设,F'(x)=ln(x﹣1)+1+a(x﹣1)(x≥2).
①当a≥0时,在x∈[2,+∞)上F'(x)>0,F(x)在x∈[2,+∞)递增,F(x)的最小值为F(2)=0,不可能有f(x﹣a﹣1)﹣g(x)≤0.
②当a≤﹣1时,令,解得:,此时
∴.∴F'(x)在[2,+∞)上递减.∵F'(x)的最大值为F'(2)=a+1≤0,∴F(x)递减.∴F(x)的最大值为F(2)=0,
即f(x﹣a﹣1)﹣g(x)≤0成立.
③当﹣1<a<0时,此时,当时,F''(x)>0,F'(x)递增,当时,F''(x)<0,F'(x)递减.
∴=﹣ln(﹣a)>0,又由于F'(2)=a+1>0,
∴在上F'(x)>0,F(x)递增,
又∵F(2)=0,所以在上F(x)>0,显然不合题意.
综上所述:a≤﹣1.
知识点:基本初等函数I
题型:解答题
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