已知函数f(x)为二次函数,满足f(0)=1,且f(x+1)﹣f(x)=2x.(1)求函数f(x)的解析式;(...
问题详情:
已知函数f(x)为二次函数,满足f(0)=1,且f(x+1)﹣f(x)=2x.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若方程f(2x)=2x+a在x∈(﹣∞,2]上有两个不同的解,求实数a的取值范围.
【回答】
【考点】3W:二次函数的*质.
【分析】(1)设出函数f(x)的解析式,根据f(0)=1求出c的值,根据f(x+1)﹣f(x)=2x,求出a,b的值,从而求出函数的解析式即可;
(2)问题转化为a=(2x﹣1)2在x∈(﹣∞,2]上有两个不同的解,令t=2x,则0<t≤4,令g(t)=(t﹣1)2,画出函数g(t)和y=a的图象,读出a的范围即可.
【解答】解:(1)设f(x)=ax2+bx+c,由f(0)=1得c=1,
∴f(x)=ax2+bx+1,
∴f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+1=ax2+(2a+b)x+a+b+1,
∴f(x+1)﹣f(x)=ax2+(2a+b)x+a+b+1﹣ax2﹣bx﹣1
=2ax+a+b,
∵f(x+1)﹣f(x)=2x,
∴2ax+a+b=2x,
∴2a=2且a+b=0,
∴a=1,b=﹣1,
∴f(x)=x2﹣x+1;
(2)若方程f(2x)=2x+a在x∈(﹣∞,2]上有两个不同的解,
即a=(2x﹣1)2在x∈(﹣∞,2]上有两个不同的解,
令t=2x,则0<t≤4,
令g(t)=(t﹣1)2,
画出函数g(t)和y=a的图象,如图所示:
故0<a<1.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题
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