已知函数f(x)=ax3+cx+d(a≠0)是R上的奇函数,当x=1时f(x)取得极值﹣2.求f(x)的单调区...
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已知函数f(x)=ax3+cx+d(a≠0)是R上的奇函数,当x=1时f(x)取得极值﹣2.求f(x)的单调区间和极大值.
【回答】
【考点】6D:利用导数研究函数的极值.
【分析】由条件f(1)=2,f′(1)=0求得a、b,再利用导数求出单调区间,从而求解.
【解答】解.由奇函数定义,有f(﹣x)=﹣f(x),x∈R.即﹣ax3﹣cx+d=﹣ax3﹣cx﹣d,∴d=0因此,f(x)=ax3+cx,
f′(x)=3ax2+c
由条件f(1)=2为f(x)的极值,必有f′(1)=0
故 ,解得 a=1,c=﹣3
因此f(x)=x3﹣3x,f′(x)=3x2﹣3=3(x﹣1)(x+1)
当x∈(﹣∞,﹣1)时,f′(x)>0,故f(x)在单调区间(﹣∞,﹣1)上是增函数.
当x∈(﹣1,1)时,f′(x)<0,故f(x)在单调区间(﹣1,1)上是减函数.
当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,故f(x)在单调区间∈(1,+∞)上是增函数.
所以,f(x)的极大值为f(﹣1)=2.
知识点:导数及其应用
题型:解答题
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