已知f(x)=ax2﹣2(a+1)x+3(a∈R).(1)若函数f(x)在单调递减,求实数a的取值范围;(2)...
问题详情:
已知f(x)=ax2﹣2(a+1)x+3(a∈R).
(1)若函数f(x)在单调递减,求实数a的取值范围;
(2)令h(x)=,若存在,使得|h(x1)﹣h(x2)|≥成立,求实数a的取值范围.
【回答】
【解答】解:(1)①当a=0时,f(x)=﹣2x+3,显然满足;
②,③,
综上:.
(2)存在,使得|h(x1)﹣h(x2)|≥成立即:
在上,h(x)max﹣h(x)min≥成立,
因为,令,
则,.
(i)当a≤0时,g(t)在单调递减,所以,
等价于,所以a≤0.
(ii)当0<a<1时,,g(t)在上单调递减,
在上单调递增.
①当时,即,g(t)在单调递增.
由得到,所以.
②当时,时,g(t)在单调递减,
由得到,所以.
③当,即时,,
最大值则在g(2)与中取较大者,作差比较,得到分类讨论标准:
a.当时,,此时,
由,
得到或,
所以.
b.当时,,此时g(t)max=g(2),
由,得到,
所以此时a∈∅,
在此类讨论中,.
c.当a≥1时,g(t)在单调递增,由,
得到,所以a≥1,
综合以上三大类情况,a∈(﹣∞,]∪[,+∞).
知识点:*与函数的概念
题型:解答题
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