已知函数f(x)=x2-2x+mlnx+2,m∈R.(Ⅰ)当m<1时,讨论函数f(x)的单调*;(Ⅱ)若函数f...
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已知函数f(x)=x2-2x+mlnx+2,m∈R. (Ⅰ)当m<1时,讨论函数f(x)的单调*; (Ⅱ)若函数f(x)有两个极值点x1,x2,且x1<x2,求*1-≤<1.
【回答】
解:(1)∵, ∴, 令g(x)=x2-2x+m,∵m<1,∴△=4-4m>0, 令f’(x)=0则, 当,即m≤0时, 令f’(x)<0则;令f’(x)>0则. 此时函数在上单调递减;在上单调递增. 当,即0<m<1时, 令f’(x)<0,则; 令f’(x)>0则, 此时函数在上单调递减;在和上单调递增. (2)由(1)知,若f(x)有两个极值点, 则0<m<1且, 又x1,x2是x2-2x+m=0的两个根,则, ∴, 令,则, 令h’(t)<0,则,令h’(t)>0,则, 所以h(t)在上单调递减;在上单调递增. ∴, ∵,∴h(t)<1,得*. 【解析】
(1)首先求得导函数,然后分类讨论确定函数的单调*即可; (2)首先确定x1,x2的范围,然后结合题意*题中的不等式即可. 本题主要考查导函数研究函数的单调*,导函数研究函数的极值,利用导数*不等式的方法等知识,属于中等题.
知识点:导数及其应用
题型:解答题
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