已知函数f(x)=sin2xsin2x.(1)讨论f(x)在区间(0,π)的单调*;(2)*:;(3)设n∈...
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已知函数f(x)=sin2xsin2x.
(1)讨论f(x)在区间(0,π)的单调*;
(2)*:;
(3)设n∈N*,*:sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤.
【回答】
(1)当时,单调递增,当时,单调递减,当时,单调递增.(2)*见解析;(3)*见解析.
【分析】
(1)首先求得导函数的解析式,然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号,最后确定原函数的单调*即可;
(2)首先确定函数的周期*,然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可*得题中的不等式;
(3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得,然后结合(2)的结论和三角函数的有界*进行放缩即可*得题中的不等式.
【详解】
(1)由函数的解析式可得:,则:
,
在上的根为:,
当时,单调递增,
当时,单调递减,
当时,单调递增.
(2)注意到,
故函数是周期为的函数,
结合(1)的结论,计算可得:,
,,
据此可得:,,
即.
(3)结合(2)的结论有:
.
【点睛】
导数是研究函数的单调*、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行: (1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系. (2)利用导数求函数的单调区间,判断单调*;已知单调*,求参数. (3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题. (4)考查数形结合思想的应用.
知识点:导数及其应用
题型:解答题
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