已知f(x)=ax2(a∈R),g(x)=2lnx.(1)讨论函数F(x)=f(x)-g(x)的单调*;(2)...
问题详情:
已知f(x)=ax2(a∈R),g(x)=2ln x.
(1)讨论函数F(x)=f(x)-g(x)的单调*;
(2)若方程f(x)=g(x)在区间[,e]上有两个不等解,求a的取值范围.
【回答】
[解] (1)F(x)=ax2-2ln x,其定义域为(0,+∞),
∴F′(x)=2ax-
=(x>0).
①当a>0时,由ax2-1>0,得x> .
由ax2-1<0,得0<x< .
故当a>0时,F(x)在区间上单调递增,
在区间上单调递减.
②当a≤0时,F′(x)<0(x>0)恒成立.
故当a≤0时,F(x)在(0,+∞)上单调递减.
(2)原式等价于方程a==φ(x)在区间[,e]上有两个不等解.
∵φ′(x)=在(,)上为增函数,
在(,e)上为减函数,则φ(x)max=φ()=,
而φ(e)=<φ(2)===φ().
∴φ(x)min=φ(e),
如图当f(x)=g(x)在[,e]上有两个不等解时有φ(x)min=.
故a的取值范围为≤a<.
知识点:*与函数的概念
题型:解答题
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