设函数f(x)=ax--2lnx.(1)若f′(2)=0,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)在定义域上是增...
问题详情:
设函数f(x)=ax--2ln x.
(1)若f′(2)=0,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在定义域上是增函数,求实数a的取值范围.
【回答】
解:(1)因为f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(2)=0,且f′(x)=a+-,
所以a+-1=0,所以a=.
所以f′(x)=+-=(2x2-5x+2),
由f′(x)>0结合x>0,
得0<x<或x>2;
由f′(x)<0及x>0,得<x<2.
所以f(x)在区间和(2,+∞)内是增函数,
在区间内是减函数.
(2)若f(x)在定义域上是增函数,
则f′(x)≥0对x>0恒成立,
因为f′(x)=
所以需x>0时ax2-2x+a≥0恒成立.
化为a≥对x>0恒成立.
因为=≤1,当且仅当x=1时取等号,
所以a≥1.
知识点:导数及其应用
题型:解答题
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