已知函数f(x)=ex-x-1,g(x)=x2eax.(1)求f(x)的最小值;(2)求g(x)的单调区间;(...
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已知函数f(x)=ex-x-1,g(x)=x2eax.
(1)求f(x)的最小值;
(2)求g(x)的单调区间;
(3)当a=1时,对于在(0,1)中的任一个常数m,是否存在正数x0使得f(x0)>g(x0)成立?如果存在,求出符合条件的一个x0;否则说明理由.
【回答】
解:(1)f(x)的定义域是R,
f′(x)=ex-1,
且在(-∞,0)上f′(x)<0,在(0,+∞)上f′(x)>0,
所以f(x)min=f(0)=0.
(2)g′(x)=2xeax+ax2eax=(2x+ax2)eax.
①当a=0时,若x<0,则g′(x)<0,若x>0,则g′(x)>0.
所以当a=0时,函数g(x)在区间(-∞,0)内为减函数,在区间(0,+∞)内为增函数.
②当a>0时,由2x+ax2>0,解得x<-或x>0,
由2x+ax2<0,解得-<x<0.
所以当a>0时,函数g(x)在区间内为增函数,
在区间内为减函数,在区间(0,+∞)内为增函数.
③当a<0时,由2x+ax2>0,解得0<x<-,
由2x+ax2<0,解得x<0或x>-.
所以当a<0时,函数g(x)在区间(-∞,0)内为减函数,在区间内为增函数,在区间内为减函数.
(3)假设存在这样的x0满足题意,则
f(x0)>g(x0),ex0-x0-1>xex0,x+-1<0,(*)
要找一个x0>0,使(*)式成立,只需找到当x>0时,函数h(x)=x2+-1的最小值h(x)min<0即可,
h′(x)=x,
令h′(x)=0得ex=,则x=-ln m,取x0=-ln m,
当0<x<x0时,h′(x)<0,当x>x0时,h′(x)>0,
所以h(x)min=h(x0)=h(-ln m)=(ln m)2-mln m+m-1.
下面只需*:当0<m<1时,(ln m)2-mln m+m-1<0成立即可,
令p(m)=(ln m)2-mln m+m-1,m∈(0,1),
则p′(m)=(ln m)2≥0,从而p(m)在m∈(0,1)时为增函数,则p(m)<p(1)=0,从而(ln m)2-mln m+m-1<0得*.
于是h(x)的最小值h(-ln m)<0,因此可找到一个正常数x0=-ln m(0<m<1),使得f(x0)>g(x0)成立.
知识点:基本初等函数I
题型:解答题
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