已知函数f(x)=mex(x+1)(m≠0);g(x)=lnx-ax-a2-3a+1。(1)若f(x)在(0,...
问题详情:
已知函数f(x)=mex(x+1)(m≠0);g(x)=lnx-ax-a2-3a+1。
(1)若f(x)在(0,m)处的切线的方程为y=-8x-4,求此时f(x)的最值;
(2)若对任意x∈[1,+∞),a∈[-1,0),不等式g(x)>f(a)恒成立,求实数m的取值范围。
请考生在第22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。
【回答】
解:(1)f(x)=mex(x+2) 令x=0得: f(0)=2m 由题意:2m=-8 ∴m=-4
f(x)=-4 ex(x+2) 由f(x)>0得:x<-2, 由f(x)<0得:x>-2
∴f(x)在(-∞,-2)上单调递增;在(-2,+∞)上单调递减
∴fmax(x)=f(-2)=,无最小值;
(2) g(x)>f(a) lnx-ax-a2-3a+1> mea(a+1) lnx-ax> mea(a+1) +a2+3a-1
(lnx-ax)min> mea(a+1) +a2+3a-1
令φ(x)= lnx-ax ∵a∈[-1,0) ∴φ(x)= lnx-ax在[1,+∞)上单调递增 φmin(x)=φ(1)=-a
∴(lnx-ax)min> mea(a+1) +a2+3a-1-a> mea(a+1) +a2+3a-1 mea(a+1) +a2+4a-1<0
令h(a)= mea(a+1) +a2+4a-1, a∈[-1,0)
①
当-m2即m≥-2时,h(a)>0,∴h(a)在[-1,0)上单调递增,若使h(a)<0恒成立,只需h(0)0
m1 ∴m∈[-2,0)∪(0,1]
②当-m≥2e即m-2e时, h(a)0 ∴h(a)在[-1,0)上单调递减,若使h(a)<0恒成立,只需h(-1)0 即-4<0 m-2e合题意;
∴-2e<m<-2 合题意
综上,m的取值范围为(-∞,0)∪(0,1]
法二:离参法
①若a=-1,则-4<0恒成立,m≠0合题意;
∵a∈(-1,0) ∴t(a)>0 t(a)在(-1,0)上单调递增
由题意:-mt(0)=-1 即m1 又∵m≠0
∴m的取值范围为(-∞,0)∪(0,1]
知识点:基本初等函数I
题型:解答题
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