(1)已知函数f(x)=axekx-1,g(x)=lnx+kx.当a=1时,若f(x)在(1,+∞)上为减函数...
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(1)已知函数f(x)=axekx-1,g(x)=ln x+kx.当a=1时,若f(x)在(1,+∞)上为减函数,g(x)在(0,1)上为增函数,求实数k的值;
(2)已知函数f(x)=x+-2ln x,a∈R,讨论函数f(x)的单调区间.
【回答】
[解] (1)当a=1时,f(x)=xekx-1,
∴f′(x)=(kx+1)ekx,g′(x)=+k.
∵f(x)在(1,+∞)上为减函数,
则∀x>1,f′(x)≤0⇔k≤-,
∴k≤-1.
∵g(x)在(0,1)上为增函数,
则∀x∈(0,1),g′(x)≥0⇔k≥-,
∴k≥-1.
综上所述,k=-1.
(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞),
∴f′(x)=1--=
①当Δ=4+4a≤0,即a≤-1时,
得x2-2x-a≥0,
则f′(x)≥0.
∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
②当Δ=4+4a>0,即a>-1时,
令f′(x)=0,得x2-2x-a=0,
解得x1=1-,x2=1+>0.
(ⅰ)若-1<a≤0,则x1=1-≥0,
∵x∈(0,+∞),
∴f(x)在(0,1-),(1+,+∞)上单调递增,
在(1-,1+)上单调递减.
(ⅱ)若a>0,则x1<0,当x∈(0,1+)时,f′(x)<0,当x∈(1+,+∞)时,f′(x)>0,
∴函数f(x)在区间(0,1+)上单调递减,
在区间(1+,+∞)上单调递增.
知识点:导数及其应用
题型:解答题
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