已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<...

问题详情：

已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.

(1)求f(1)的值；

(2)判断f(x)的单调*；

(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．

【回答】

（1）0

（2）f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数

（3）f(x)在[2,9]上的最小值为－2

【解析】(1)令x1＝x2>0，

代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.

(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则>1，

由于当x>1时，f(x)<0所以f<0，

即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)<f(x2)，

所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．

(3)∵f(x)在[0，＋∞)上是单调递减函数．

∴f(x)在[2,9]上的最小值为f(9)．

由f＝f(x1)－f(x2)，得f＝f(9)－f(3)，

而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2.

∴f(x)在[2,9]上的最小值为－2.

知识点：*与函数的概念

题型：解答题