已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f()=f(x1)-f(x2),且当x>1时,f(x)&l...
问题详情:
已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f()=f(x1)-f(x2),且当x>1时,f(x)<0.
(1)求f(1)的值;
(2)判断f(x)的单调*;
(3)若f(3)=-1,解不等式f(|x|)<-2.
【回答】
解:(1)令x1=x2>0,
代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.
(2)任取x1,x2∈(0,+∞),
且x1>x2,则>1,
由于当x>1时,f(x)<0,
所以f()<0,即f(x1)-f(x2)<0.
因此f(x1)<f(x2),
故函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数.
(3)由f()=f(x1)-f(x2)得
F()=f(9)-f(3),
而f(3)=-1,
所以f(9)=-2.
由于函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,
且f(|x|)<-2=f(9),
所以|x|>9,解得x>9或x<-9.
故不等式的解集为{x|x>9或x<-9}.
知识点:*与函数的概念
题型:解答题
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