设函数f（x）=4sinx（cosx﹣sinx）+3（Ⅰ）当x∈（0，π）时，求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）...

问题详情：

设函数f（x）=4sinx（cosx﹣sinx）+3

（Ⅰ）当x∈（0，π）时，求f（x）的单调递减区间；

（Ⅱ）若f（x）在[0，θ]上的值域为[0，2+1]，求cos2θ的值．

【回答】

【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=4sinx（cosx﹣sinx）+3

=4sinxcosx﹣4sin2x+3

=2sin2x﹣4×+3

=2sin2x+2cos2x+1

=2sin（2x+）+1，

令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，

解得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，

又x∈（0，π），

所以f（x）的单调递减区间是[，]；

（Ⅱ）由f（x）=2sin（2x+）+1在[0，θ]上的值域为[0，2+1]，

令x=0，得f（0）=2sin+1=3；

令f（x）=2+1，得sin（2x+）=1，

解得x=，∴θ＞；

令f（x）=0，得sin（2x+）=﹣，

∴2x+＜，

解得x＜，即θ＜；

∴θ∈（，），

∴2θ+∈（，）；

由2sin（2θ+）+1=0，

得sin（2θ+）=﹣，

所以cos（2θ+）=﹣=﹣，

所以cos2θ=cos[（2θ+）﹣]

=cos（2θ+）cos+sin（2θ+）sin

=﹣×+（﹣）×

=﹣．

知识点：三角恒等变换

题型：解答题