已知函数f(x)=lnx+mx,其中m为常数.(Ⅰ)当m=﹣1时,求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若f(x)在...
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已知函数f(x)=lnx+mx,其中m为常数.
(Ⅰ)当m=﹣1时,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若f(x)在区间(0,e]上的最大值为﹣3,求m的值;
(Ⅲ)令g(x)=﹣f′(x),若x≥1时,有不等式g(x)≥恒成立,求实数k的取值范围.
【回答】
考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调*.
专题: 导数的综合应用.
分析: (Ⅰ)在定义域(0,+∞)内对函数f(x)求导,求其极大值,若是唯一极值点,则极大值即为最大值.
(Ⅱ)在定义域(0,+∞)内对函数f(x)求导,对m进行分类讨论并判断其单调*,根据f(x)在区间(0,e]上的单调*求其最大值,并判断其最大值是否为﹣3,若是就可求出相应的最大值.
(Ⅲ)首先求g(x),有不等式g(x)≥恒成立,转化为k≤g(x)(x+1),求g(x)(x+1)的最小值,问题得以解决.
解答: 解:(1)易知f(x)定义域为(0,+∞),
当a=﹣1时,f(x)=﹣x+lnx,f′(x)=﹣1+,令f′(x)=0,得x=1.
当0<x<1时,f′(x)>0;当x>1时,f′(x)<0.
∴f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数.
(2)∵f′(x)=m+,x∈(0,e],
①若m≥0,则f′(x)≥0,从而f(x)在(0,e]上增函数,
∴f(x)max=f(e)=me+1≥0,不合题意.
②若m<0,则由f′(x)>0,即0<x<
由f′(x)<0,即<x≤e.
从而f(x)在(0,)上增函数,在(﹣,e]为减函数,
∴f(x)max=f()=﹣1+ln()
令﹣1+ln()=﹣3,
∴m=e﹣2,
∵﹣e2<,
∴m=﹣e2为所求.
(Ⅲ)∵g(x)=﹣f′(x),f′(x)=m+,f(x)=lnx+mx,
∴g(x)=﹣,
若x≥1时,有不等式g(x)≥恒成立,
∴k≤g(x)(x+1)=lnx+++1,
令h(x)=(x)(x+1)=lnx+++1,
∴h′(x)=>恒大于0,
∴h(x)在[1,+∞)为增函数,
∴h(x)min=h(1)=2,
∴k≤2.
知识点:导数及其应用
题型:解答题
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