已知函数f(x)=log2()﹣x(m为常数)是奇函数.(1)判断函数f(x)在x∈(,+∞)上的单调*,并用...
问题详情:
已知函数f(x)=log2()﹣x(m为常数)是奇函数.
(1)判断函数f(x)在x∈(,+∞)上的单调*,并用定义法*你的结论;
(2)若对于区间[2,5]上的任意x值,使得不等式f(x)≤2x+m恒成立,求实数m的取值范围.
【回答】
【解答】解:(1)由条件可得f(﹣x)+f(x)=0,即 ,
化简得1﹣m2x2=1﹣4x2,从而得m=±2;由题意m=﹣2舍去,
所以m=2,即,上为单调减函数;
*如下:设,则f(x1)﹣f(x2)=log2()﹣x1﹣log2()+x2,
因为<x1<x2,所以x2﹣x1>0,2x1﹣1>0,2x2﹣1>0;
所以f(x1)﹣f(x2)>0,即f(x1)>f(x2);
所以函数f(x)在x∈(,+∞)上为单调减函数;
(2)设g(x)=f(x)﹣2x,由(1)得f(x)在x∈(,+∞)上为单调减函数,
所以g(x)=f(x)﹣2x在[2,5]上单调递减;
所以g(x)=f(x)﹣2x在[2,5]上的最大值为,
由题意知n≥g(x)在[2,5]上的最大值,所以.
知识点:基本初等函数I
题型:解答题
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