已知函数.(1)试判断函数F(x)=(x2+1)f(x)–g(x)在[1,+∞)上的单调*;(2)当0<a<b...
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已知函数.
(1)试判断函数F(x)=(x2+1) f (x) – g(x)在[1,+∞)上的单调*;
(2)当0<a<b时,求*:函数f (x) 定义在区间[a,b]上的值域的长度大于(闭区间[m,n]的长度定义为n –m).
(3)方程f(x)=是否存在实数根?说明理由。
【回答】
解(1)∵F(x)=(x2+1)lnx –2x+2. ∴F ′(x)= 2xlnx+.
∴当x≥1时,F′(x)≥0且仅当x = 1时F′(x)= 0 ∴F(x)在(1,+∞)上单调递增 ……4分
(2)∵0<a<b,f (x)在[a,b]上的值域为[lna,lnb]
∴要*值域的长度大于, 即*lnb – lna> 只要*ln
∵0<a<b,∴令 则只要*lnx> (x>1) 即*(x2+1)lnx –(2x –2)>0 (※)
由(1)可知F(x)在(1,+∞)上单调递增 ∴F(x)>F(1)= 0 所以(※)式成立.
∴f (x)在[a, b]上的值域的长度大于.……9分
(3)∵f (x) = xlnx= 令h (x) = xlnx(x>0).则h ′(x)=lnx+1
当x∈(0,)时h ′(x)< 0, h (x)单调递减;
当x∈()时,h′(x)>0,h (x)单调递增.所以h (x)min= h ()= –.
令(x)=则 当x∈(0,1),,单调递增; 当x∈(1,+∞)时,,单调递减.∴max= 所以方程f(x)= 没有实根…
知识点:导数及其应用
题型:解答题
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