已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x﹣2)=f(x+2),当0<x<2时,f(x)=1﹣log2(x+1...
问题详情:
已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x﹣2)=f(x+2),当0<x<2时,f(x)=1﹣log2(x+1),则当0<x<4时,不等式(x﹣2)f(x)>0的解集是( )
A.(0,1)∪(2,3) B.(0,1)∪(3,4) C.(1,2)∪(3,4) D.(1,2)∪(2,3)
【回答】
D【考点】其他不等式的解法.
【专题】不等式的解法及应用.
【分析】由题意可得函数的*质,可得图象,数形结合可解不等式.
【解答】解:∵f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x﹣2)=f(x+2),
∴f(0)=0,且f(2+x)=﹣f(2﹣x),
∴f(x)的图象关于点(2,0)中心对称,
又0<x<2时,f(x)=1﹣log2(x+1),
故可作出fx(x)在0<x<4时的图象,
由图象可知当x∈(1,2)时,x﹣2<0,f(x)<0,
∴(x﹣2)f(x)>0;
当x∈(2,3)时,x﹣2>0,f(x)>0,
∴(x﹣2)f(x)>0;
∴不等式(x﹣2)f(x)>0的解集是(1,2)∪(2,3)
故选:D
【点评】本题考查不等式的解法,涉及函数的*质和图象,属中档题.
知识点:不等式
题型:选择题
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