已知定义在R上的奇函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,当0<x≤1时,f(x)=logx,则方程f(x)...
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已知定义在R上的奇函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,当0<x≤1时,f(x)=logx,则方程f(x)﹣1=0在(0,6)内的零点之和为( )
A.8 B.10 C.12 D.16
【回答】
C【考点】函数零点的判定定理.
【分析】可根据定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x=1对称⇒f(x+4)=f(x),再利用0<x≤1时,f(x)=≥0,数形结合,可求得方程f(x)﹣1=0在区间(0,6)内的所有零点之和.
【解答】解:∵函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,
∴f(2﹣x)=f(x),又y=f(x)为奇函数,
∴f(x+2)=f(﹣x)=﹣f(x),
∴f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x),即f(x)的周期为4,
∵0<x≤1时,f(x)=≥0,
∴f(x)=1在(0,1)内有一实根x1,又函数f(x)的图象关于直线x=1对称,
∴f(x)=1在(1,2)有一个实根x2,且x1+x2=2;
∵f(x)是奇函数,f(x)的周期为4,
∴f(x)=1在(2,3),(3,4)上没有根;在(4,5),(5,6)各有一个实根x3,x4,x3+x4═10;
∴原方程在区间(0,6)内的所有实根之和为12.
故选:C.
知识点:函数的应用
题型:选择题
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