已知定义在R上的函数f(x),若对于任意x1,x2∈R,且x1≠x2,都有x1f(x1)+x2f(x2)>x1...
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已知定义在R上的函数f(x),若对于任意x1,x2∈R,且x1≠x2,都有x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1),那么函数f(x)称为“Ω函数”.给出下列函数:
①f(x)=cosx;
②f(x)=2x;
③f(x)=x|x|;
④f(x)=ln(x2+1).
其中“Ω函数”的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【回答】
B【考点】函数单调*的*质.
【专题】函数思想;综合法;函数的*质及应用.
【分析】根据条件可以得到,对于任意的x1,x2∈R,且x1≠x2,都有(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]>0,从而得出f(x)在R上为增函数,这样根据余弦函数,指数函数,二次函数,以及对数函数,复合函数的单调*判断每个函数在R上的单调*,从而便可得出“Ω函数”的个数.
【解答】解:对于任意x1,x2∈R,且x1≠x2,x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)恒成立;
∴(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]>0恒成立;
∴f(x)在R上为增函数;
①f(x)=cosx在R上没有单调*,∴该函数不是“Ω函数”;
②f(x)=2x在R上为增函数,∴该函数是“Ω函数”;
③;
∴f(x)在[0,+∞)上单调递增,在(﹣∞,0)上单调递增,且02=﹣02;
∴f(x)在R上为增函数,∴该函数是“Ω函数”;
④令x2+1=t,t≥1,则y=lnt在[1,+∞)上单调递增,而t=x2+1在R上没有单调*;
∴f(x)在R上没有单调*,∴该函数不是“Ω函数”;
∴“Ω函数”的个数是2.
故选:B.
【点评】考查增函数的定义,余弦函数、指数函数、二次函数,以及对数函数和复合函数的单调*,含绝对值函数的处理方法:去绝对值号,分段函数单调*的判断.
知识点:基本初等函数I
题型:选择题
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