函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x...
问题详情:
函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).
(1)求f(1)的值;
(2)判断f(x)的奇偶*并*你的结论;
(3)如果f(4)=1,f(x-1)<2,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求x的取值范围.
【回答】
(1)∵对于任意x1,x2∈D,
有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),
∴令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),∴f(1)=0.
(2)f(x)为偶函数.
*:令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1),
∴f(-1)=f(1)=0.
令x1=-1,x2=x有f(-x)=f(-1)+f(x),
∴f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数.
(3)依题设有f(4×4)=f(4)+f(4)=2,
由(2)知,f(x)是偶函数,
∴f(x-1)<2⇔f(|x-1|)<f(16).
又f(x)在(0,+∞)上是增函数.
∴0<|x-1|<16,解之得-15<x<17且x≠1.
∴x的取值范围是{x|-15<x<17且x≠1}.
知识点:*与函数的概念
题型:解答题
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