．已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R．（1）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围...

问题详情：

．已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R．

（1）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；

（2）令g（x）=f（x）﹣x2，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；

（3）当x∈（0，e]时，*：．

【回答】

【考点】6B：利用导数研究函数的单调*；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．

【分析】（1）先对函数f（x）进行求导，根据函数f（x）在[1，2]上是减函数可得到其导函数在[1，2]上小于等于0应该恒成立，再结合二次函数的*质可求得a的范围．

（2）先假设存在，然后对函数g（x）进行求导，再对a的值分情况讨论函数g（x）在（0，e]上的单调*和最小值取得，可知当a=e2能够保*当x∈（0，e]时g（x）有最小值3．

（3）令F（x）=e2x﹣lnx结合（2）中知F（x）的最小值为3，再令并求导，再由导函数在0＜x≤e大于等于0可判断出函数ϕ（x）在（0，e]上单调递增，从而可求得最大值也为3，即有成立，即成立．

【解答】解：（1）在[1，2]上恒成立，

令h（x）=2x2+ax﹣1，有得，

得

（2）假设存在实数a，使g（x）=ax﹣lnx（x∈（0，e]）有最小值3， =

①当a≤0时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，（舍去），

②当时，g（x）在上单调递减，在上单调递增

∴，a=e2，满足条件．

③当时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，（舍去），

综上，存在实数a=e2，使得当x∈（0，e]时g（x）有最小值3．

（3）令F（x）=e2x﹣lnx，由（2）知，F（x）min=3．

令，，

当0＜x≤e时，ϕ'（x）≥0，φ（x）在（0，e]上单调递增

∴

∴，即＞（x+1）lnx．

知识点：导数及其应用

题型：解答题