已知函数f(x)=x2﹣(3a+1)x+2a(a+1)lnx(a>0)(Ⅰ)若函数f(x)在x=1处的切线与直...
问题详情:
已知函数 f(x)=x2﹣(3a+1)x+2a(a+1)lnx(a>0)
(Ⅰ)若函数f(x)在x=1处的切线与直线3x﹣y+2=0平行,求a的值:
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅲ)在(I)的条什下,若对职∀x∈[1,e],f(x)≥k2+6k恒成立,求实数k的取值范围.
【回答】
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调*.
【专题】导数的综合应用.
【分析】(Ⅰ)由导数值即曲线的斜率即可求得;
(Ⅱ)利用导数求函数的单调区间,注意对a进行讨论;
(Ⅲ)把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题解决,对∀x∈[1,e],f(x)≥k2+6k恒成立,即求f(x)min≥k2+6k恒成立.
【解答】解:(Ⅰ)f′(x)=x﹣(3a+1)+﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣1分
∵函数f(x)在x=1处的切线与直线3x﹣y+2=0平行,
∴f′(1)=1﹣(3a+1)+2a(a+1)=3,即2a2﹣a﹣3=0.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2分
解得a=或a=﹣1(不符合题意,舍去),∴a=.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4分
(Ⅱ)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=x﹣(3a+1)+﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5分
①当0<a<1时,2a<a+1,∴当0<x<2a或x>a+1时,f′(x)>0,
当2a<x<a+1时,f′(x)<0,
∴函数f(x)在(0,2a)和(a+1,+∞)上单调递增,在(2a,a+1)上单调递减.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7分
②当a=1时,2a=a+1,f′(x)≥0,∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣8分
③当a>1时,2a>a+1,
∴0<x<a+1或x>2a时,f′(x)>0;a+1<x<2a时,f′(x)<0,
∴函数f(x)在(0,a+1)和(2a,+∞)上单调递增,在(a+1,2a)上单调递减.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分
(Ⅲ)当a=时,f(x)=﹣+lnx,
由(Ⅱ)知函数f(x)在(0,)上单调递增,在(,3)上单调递减,
因此f(x)在区间1,e]的最小值只能在f(1)或f(e)中取得.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣11分
∵f(1)=﹣5,f(e)=﹣+,
∴f(e)﹣f(1)=.
设g(x)=x2﹣11x+25,则g(x)在(﹣∞,)上单调递减,且e<3<,
∴g(e)>g(3),故f(e)﹣f(1)>0.
∴f(x)在区间1,e]的最小值是f(1)=﹣5.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣13分
若要满足对对∀x∈[1,e],f(x)≥k2+6k恒成立,只需f(x)min≥k2+6k恒成立,
即求﹣5≥k2+6k恒成立,即k2+6k+5≤0,解得﹣5≤k≤﹣1.
∴实数k的取值范围是[﹣5,﹣1].﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣14分
【点评】考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减*得到函数的最值.掌握不等式恒成立时所取的条件.体会数学转化思想的运用.
知识点:导数及其应用
题型:解答题
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