已知函数f（x）=x3+ax+，g（x）=﹣lnx（i）当a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；（ii）用...

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已知函数f（x）=x3+ax+，g（x）=﹣lnx

（i）当 a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；

（ii）用min {m，n }表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min { f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．

【回答】

【分析】（i）f′（x）=3x2+a．设曲线y=f（x）与x轴相切于点P（x0，0），则f（x0）=0，f′（x0）=0解出即可．

（ii）对x分类讨论：当x∈（1，+∞）时，g（x）=﹣lnx＜0，可得函数h（x）=min { f（x），g（x）}≤g（x）＜0，即可得出零点的个数．

当x=1时，对a分类讨论：a≥﹣，a＜﹣，即可得出零点的个数；

当x∈（0，1）时，g（x）=﹣lnx＞0，因此只考虑f（x）在（0，1）内的零点个数即可．对a分类讨论：①当a≤﹣3或a≥0时，②当﹣3＜a＜0时，利用导数研究其单调*极值即可得出．

【解答】解：（i）f′（x）=3x2+a．

设曲线y=f（x）与x轴相切于点P（x0，0），则f（x0）=0，f′（x0）=0，

∴，解得，a=．

因此当a=﹣时，x轴为曲线y=f（x）的切线；

（ii）当x∈（1，+∞）时，g（x）=﹣lnx＜0，

∴函数h（x）=min { f（x），g（x）}＜0，

故h（x）在x∈（1，+∞）时无零点．

当x=1时，若a≥﹣，则f（1）=a+≥0，

∴h（x）=min { f（1），g（1）}=g（1）=0，故x=1是函数h（x）的一个零点；

若a＜﹣，则f（1）=a+＜0，∴h（x）=min { f（1），g（1）}=f（1）＜0，故x=1不是函数h（x）的零点；

当x∈（0，1）时，g（x）=﹣lnx＞0，因此只考虑f（x）在（0，1）内的零点个数即可．

①当a≤﹣3或a≥0时，f′（x）=3x2+a在（0，1）内无零点，因此f（x）在区间（0，1）内单调，

而f（0）=，f（1）=a+，∴当a≤﹣3时，函数f（x）在区间（0，1）内有一个零点，

当a≥0时，函数f（x）在区间（0，1）内没有零点．

②当﹣3＜a＜0时，函数f（x）在内单调递减，在内单调递增，故当x=时，f（x）取得最小值=．

若＞0，即，则f（x）在（0，1）内无零点．

若=0，即a=﹣，则f（x）在（0，1）内有唯一零点．

若＜0，即，由f（0）=，f（1）=a+，

∴当时，f（x）在（0，1）内有两个零点．当﹣3＜a时，f（x）在（0，1）内有一个零点．

综上可得：a＜时，函数h（x）有一个零点．

当时，h（x）有一个零点；

当a=或时，h（x）有两个零点；

当时，函数h（x）有三个零点．

【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、利用导数研究函数的单调*极值，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．

知识点：函数的应用

题型：解答题