已知函数f(x)=|x+1|﹣2|x﹣a|,a>0.(Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(Ⅱ)若f(...
问题详情:
已知函数f(x)=|x+1|﹣2|x﹣a|,a>0.
(Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(Ⅱ)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.
【回答】
【分析】(Ⅰ)当a=1时,把原不等式去掉绝对值,转化为与之等价的三个不等式组,分别求得每个不等式组的解集,再取并集,即得所求.(Ⅱ)化简函数f(x)的解析式,求得它的图象与x轴围成的三角形的三个顶点的坐标,从而求得f(x)的图象与x轴围成的三角形面积;再根据f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,从而求得a的取值范围.
【解答】解:(Ⅰ)当a=1时,不等式f(x)>1,即|x+1|﹣2|x﹣1|>1,
即①,或②,
或③.
解①求得x∈∅,解②求得<x<1,解③求得1≤x<2.
综上可得,原不等式的解集为(,2).
(Ⅱ)函数f(x)=|x+1|﹣2|x﹣a|=,
由此求得f(x)的图象与x轴的交点A (,0),
B(2a+1,0),
故f(x)的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C(a,a+1),
由△ABC的面积大于6,
可得[2a+1﹣]•(a+1)>6,求得a>2.
故要求的a的范围为(2,+∞).
知识点:不等式
题型:解答题
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