已知函数f(x)=alnx=(a为常数).(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x+2y-...
问题详情:
已知函数f(x)=aln x=(a为常数).
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x+2y-5=0垂直,求a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)当x≥1时,f(x)≤2x-3恒成立,求a的取值范围.
【回答】
解 (1)函数f(x)的定义域为{x|x>0},f′(x)=.
又曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x+2y-5=0垂直,
所以f′(1)=a+1=2,即a=1.(4分)
(2)由f′(x)= (x>0),
当a≥0时,
f′(x)>0恒成立,所以f(x)的单调增区间为(0,+∞).
当a<0时,
由f′(x)>0,得0<x<-,
所以f(x)的单调增区间为;
由f′(x)<0,得x>-,
所以f(x)的单调减区间为
(3)设g(x)=aln x--2x+3,x∈[1,+∞),
令h(x)=-2x2+ax+1,考虑到h(0)=1>0,
当a≤1时,
h(x)=-2x2+ax+1的对称轴x=<1,
h(x)在[1,+∞)上是减函数,h(x)≤h(1)=a-1≤0,
所以g′(x)≤0,g(x)在[1,+∞)上是减函数,
所以g(x)≤g(1)=0,即f(x)≤2x2-3恒成立.
当a>1时,
令h(x)=-2x2+ax+1=0,
当x∈[1,x1)时,h(x)>0,即g′(x)>0,
g(x)在[1,x1)上是增函数;
当x∈(x1,+∞)时,h(x)<0,即g′(x)<0,
g(x)在(x1,+∞)上是减函数.
所以0=g(1)<g(x1),即f(x1)>2x1-3,不满足题意.
综上,a的取值范围为a≤1.(16分)
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题
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