已知函数f(x)=x-alnx(a∈R).(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方...
问题详情:
已知函数f(x)=x-aln x(a∈R).
(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程;
(2)求函数f(x)的极值.
【回答】
解 函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1-.
(1)当a=2时,f(x)=x-2ln x,f′(x)=1-(x>0),
因而f(1)=1,f′(1)=-1,
所以曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为
y-1=-(x-1),
即x+y-2=0.
(2)由f′(x)=1-=,x>0知:
①当a≤0时,f′(x)>0,函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数f(x)无极值;
②当a>0时,由f′(x)=0,解得x=a.
又当x∈(0,a)时,f′(x)<0;
当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,
从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为
f(a)=a-aln a,无极大值.
综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;
当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln a,无极大值.
知识点:导数及其应用
题型:解答题
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