已知函数f(x)=x3-2x2+ax(x∈R,a∈R),在曲线y=f(x)的所有切线中,有且仅有一条切线l与直...
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已知函数f(x)=x3-2x2+ax(x∈R,a∈R),在曲线y=f(x)的所有切线中,有且仅有一条切线l与直线y=x垂直.求a的值和切线l的方程.
【回答】
解:因为f(x)=x3-2x2+ax,
所以f′(x)=x2-4x+a.
由题意可知,方程f′(x)=x2-4x+a=-1有两个相等的实根.所以Δ=16-4(a+1)=0,所以a=3.
所以f′(x)=x2-4x+3=-1可化为x2-4x+4=0.
解得切点横坐标为x=2,
所以f(2)=×8-2×4+2×3=,
所以切线l的方程为y-=(-1)×(x-2),即3x+3y-8=0.
所以a=3,切线l的方程为3x+3y-8=0.
知识点:导数及其应用
题型:解答题
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