在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴的两个交点分别为A（﹣3，0）、B（1，0），过顶点C作C...

问题详情：

在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴的两个交点分别为A（﹣3，0）、B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H．

（1）直接填写：a=　   　，b=　   　，顶点C的坐标为　   　；

（2）在y轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；

（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标．

【回答】

【解答】解：（1）a=﹣1，b=﹣2，顶点C的坐标为（﹣1，4）；

（2）假设在y轴上存在满足条件的点D，过点C作CE⊥y轴于点E．

由∠CDA=90°得，∠1+∠2=90°．又∠2+∠3=90°，

∴∠3=∠1．又∵∠CED=∠DOA=90°，

∴△CED∽△DOA，∴．

设D（0，c），则．变形得c2﹣4c+3=0，解之得c1=3，c2=1．

综合上述：在y轴上存在点D（0，3）或（0，1），

使△ACD是以AC为斜边的直角三角形．

（3）①若点P在对称轴右侧（如图①），只能是△PCQ∽△CAH，得∠QCP=∠CAH．

延长CP交x轴于M，∴AM=CM，∴AM2=CM2．

设M（m，0），则（m+3）2=42+（m+1）2，∴m=2，即M（2，0）．

设直线CM的解析式为y=k1x+b1，

则，解之得，．

∴直线CM的解析式．

联立，解之得或（舍去）．

∴．

②若点P在对称轴左侧（如图②），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH．

过A作CA的垂线交PC于点F，作FN⊥x轴于点N．

由△CFA∽△CAH得，

由△FNA∽△AHC得．

∴AN=2，FN=1，CH=4，HO=1，则AH=2，

∴点F坐标为（﹣5，1）．

设直线CF的解析式为y=k2x+b2，则，

解之得．

∴直线CF的解析式．

联立，解之得或（舍去）．

∴．

∴满足条件的点P坐标为或．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：解答题