在平面直角坐标系中,O为坐标原点,过二次函数y=﹣x2+4x图象上的点A(3,3)作x轴的垂线交x轴于点B.(...
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在平面直角坐标系中,O为坐标原点,过二次函数y=﹣x2+4x图象上的点A(3,3)作x轴的垂线交x轴于点B.
(1)如图1,P为线段OA上方抛物线上的一点,在x轴上取点C(1,0),点M、N为y轴上的两个动点,点M在点N的上方且MN=1.连接AC,当四边形PACO的面积最大时,求PM+MNNO的最小值.
(2)如图2,点Q(3,1)在线段AB上,作*线CQ,将△AQC沿直线AB翻折,C点的对应点为C',将△AQC'沿*线CQ平移3个单位得△A'Q'C″,在*线CQ上取一点M,使得以A'、M、C″为顶点的三角形是等腰三角形,求M点的坐标.
【回答】
【解析】(1)如图1,过点O作直线l,使直线l经过第二、四象限且与x轴夹角为60°;
过点P作PF⊥x轴于点E,交OA于点D,交直线l于点F;在PF上截取PP'=1;过点N作NG⊥直线l于点G
∵A(3,3),AB⊥x轴于点B,∴直线OA解析式为y=x,OB=AB=3,
∵C(1,0),∴,是定值,
设P(t,﹣t2+4t)(0<t<3),
∴D(t,t),
∴PD=﹣t2+4t﹣t=﹣t2+3t,
∴
∴时,S△OAP最大,
此时,S四边形PACO=S△AOC+S△OAP最大,
,∴,
∴,即,
∵点M、N在y轴上且MN=1,∴PP'=MN,PP'∥MN,
∴四边形MNP'P是平行四边形,∴PM=P'N,
∵∠NGO=90°,∠NOG=90°﹣60°=30°,
∴Rt△ONG中,,∴,
∴当点P'、N、G在同一直线上,即P'G⊥直线l时,最小,
∵,∠EOF=60°,∠OEF=90°,
∴Rt△OEF中,∠OFE=30°,,
∴,∴,
∴Rt△P'GF中,,
∴,
∴PM+MNNO的最小值为.
(2)延长A'Q'交x轴于点H,
∵C(1,0),Q(3,1),QB⊥x轴于点B,
∴CB=2,BQ=1,∴CQ,
∵△AQC沿直线AB翻折得△AQC',∴B(3,0)是CC'的中点,∴C'(5,0),
∵平移距离QQ'=3,∴CQ'=CQ+QQ'=4,
∵QB∥Q'H,∴△CBQ∽△CHQ',
∴,∴CH=4CB=8,yQ'=HQ'=4BQ=4,
∴xQ'=OC+CH=1+8=9,∴Q'(9,4),
∴点Q(3,1)向右平移6个单位,向上平移3个单位得到点Q'(9,4)
∴A'(9,6),C''(11,3),
∴A'C'',
设直线CQ解析式为y=kx+b,
∴,解得:,∴直线CQ:,
设*线CQ上的点M(m,)(m>1),
∴A'M2=(9﹣m)2+()2=(9﹣m)2+(m)2,
C''M2=(11﹣m)2+()2=(11﹣m)2+(m)2,
∵△A'MC''是等腰三角形,
①若A'M=A'C'',则(9﹣m)2+(m)2=13,解得:m1=7,m2,
∴M(7,3)或(,),
②若C''M=A'C'',则(11﹣m)2+(m)2=13,解得:m1,m2=13,
∴M(,)或(13,6),
③若A'M=C''M,则(9﹣m)2+(m)2=(11﹣m)2+(m)2,解得:m=10,
∴M(10,),
综上所述,点M坐标为(7,3),(,),(,),(13,6),(10,).
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:综合题
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