在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+x+c的图象经过点C(0,2)和点D(4,﹣2).点E是直线y=﹣x+...
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在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+x+c的图象经过点C(0,2)和点D(4,﹣2).点E是直线y=﹣x+2与二次函数图象在第一象限内的交点.
(1)求二次函数的解析式及点E的坐标.
(2)如图①,若点M是二次函数图象上的点,且在直线CE的上方,连接MC,OE,ME.求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标.
(3)如图②,经过A、B、C三点的圆交y轴于点F,求点F的坐标.
【回答】
(1)E(3,1);(2)S最大=,M坐标为(,3);(3)F坐标为(0,﹣).
【解析】
1)把C与D坐标代入二次函数解析式求出a与c的值,确定出二次函数解析式,与一次函数解析式联立求出E坐标即可;
(2)过M作MH垂直于x轴,与直线CE交于点H,四边形COEM面积最大即为三角形CME面积最大,构造出二次函数求出最大值,并求出此时M坐标即可;
(3)令y=0,求出x的值,得出A与B坐标,由圆周角定理及相似的*质得到三角形AOC与三角形BOF相似,由相似得比例求出OF的长,即可确定出F坐标.
【详解】
(1)把C(0,2),D(4,﹣2)代入二次函数解析式得: ,
解得: ,即二次函数解析式为y=﹣x2+x+2,
联立一次函数解析式得:,
消去y得:﹣x+2=﹣x2+x+2,
解得:x=0或x=3,
则E(3,1);
(2)如图①,过M作MH∥y轴,交CE于点H,
设M(m,﹣m2+m+2),则H(m,﹣m+2),
∴MH=(﹣m2+m+2)﹣(﹣m+2)=﹣m2+2m,
S四边形COEM=S△OCE+S△CME=×2×3+MH•3=﹣m2+3m+3,
当m=﹣=时,S最大=,此时M坐标为(,3);
(3)连接BF,如图②所示,
当﹣x2+x+20=0时,x1=,x2=,
∴OA=,OB=,
∵∠ACO=∠ABF,∠AOC=∠FOB,
∴△AOC∽△FOB,
∴ ,即 ,
解得:OF=,
则F坐标为(0,﹣).
【点睛】
此题属于二次函数综合题,涉及的知识有:待定系数法求二次函数解析式,相似三角形的判定与*质,三角形的面积,二次函数图象与*质,以及图形与坐标*质,熟练掌握各自的*质是解本题的关键.
知识点:二次函数的图象和*质
题型:解答题
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