如图,抛物线y=ax2+bx+2交x轴于点A(-3,0)和点B(1,0),交y轴于点C(1)求这个抛物线的函数...
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如图,抛物线y=ax2+bx+2交x轴于点A(-3,0)和点B(1,0),交y轴于点C
(1)求这个抛物线的函数表达式.
(2)点D的坐标为(-1,0),点P为第二象限内抛物线上的一个动点,求四边形ADCP面积的最大值.
(3)点M为抛物线对称轴上的点,问:在抛物线上是否存在点N,使△MNO为等腰直角三角形,且∠MNO为直角?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
(1)y=-x2-x+2;(2)S的最大值为;(3)存在,点N的坐标为:(,)或(,)或(,)或(,).
【分析】
(1)抛物线的表达式为:y=a(x+3)(x-1)=a(x2+2x-3)=ax2+2ax-3a,即-3a=2,即可求解;
(2)S四边形ADCP=S△APO+S△CPO-S△ODC,即可求解;
(3)分点N在x轴上方、点N在x轴下方两种情况,分别求解.
【详解】
解:(1)抛物线的表达式为:y=a(x+3)(x-1)=a(x2+2x-3)=ax2+2ax-3a,
即-3a=2,解得:a=-,
故抛物线的表达式为:y=-x2-x+2,
则点C(0,2),函数的对称轴为:x=1;
(2)连接OP,设点P(x,-x2-x+2),
则S=S四边形ADCP=S△APO+S△CPO-S△ODC=×AO×yP+×OC×|xP|-×CO×OD
=(-x2-x+2)×2×(-x)-=-x2-3x+2,
∵-1<0,故S有最大值,当x=-时,S的最大值为;
(3)存在,理由:
△MNO为等腰直角三角形,且∠MNO为直角时,点N的位置如下图所示:
①当点N在x轴上方时,点N的位置为N1、N2,
N1的情况(△M1N1O):
设点N1的坐标为(x,-x2-x+2),则M1E=x+1,
过点N1作x轴的垂线交x轴于点F,过点M1作x轴的平行线交N1F于点E,
∵∠FN1O+∠M1N1E=90°,∠M1N1E+∠EM1N1=90°,∴∠EM1N1=∠FN1O,
∠M1N1E=∠N1OF=90°,ON1=M1N1,
∴△M1N1E≌△N1OF(AAS),∴M1E=N1F,
即:x+1=-x2-x+2,解得:x=(舍去负值),
则点N1(,);
N2的情况(△M2N2O):
同理可得:点N2(,);
②当点N在x轴下方时,点N的位置为N3、N4,
同理可得:点N3、N4的坐标分别为:(,)、(,);
综上,点N的坐标为:(,)或(,)或(,)或(,).
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用,涉及三角形全等、等腰直角三角形的*质、图形的面积计算等,其中(3),要注意分类求解,避免遗漏.
知识点:二次函数单元测试
题型:解答题
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